열역학

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Cp-Cv=R 증명, Mexwell Eq, 카르노정리에서 비가역효율<가역효율 증명

Ch. 6 The Second Law of Thermodynamics
Author
갓준표
Date
2024-10-26 05:17
Views
85
안녕하세요, 세 가지 질문이 있습니다.

 

1. Cp-Cv=R 증명에서

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del q = du + pdv = dh - vdp

에서 du = CvdT이고 dh = CpdT 이기 때문에

del q = CvdT + pdv = CpdT- vdp에서

dT(Cp-Cv)= d(pv) = d(RT)

Cp-Cv=R로 증명하셨는데,

v가 constant일 때  du=CvdT로 치환할 수 있고

p가 constant일 때 dh=CpdT로 치환할 수 있는 걸로 이해했는데

어떻게 두 개가 동시에 치환이 가능한지 모르겠습니다.

constant P,V 조건에서만 성립하는 식인가요? 만약 그렇다면 pdv항이 0가 되고, vdp항도 0이 되어서 du=dh 가 되어서 또 아닌것같고...

설명 부탁드립니다!

#정적비열 #정압비열 #이상기체

 

2. U=CvdT, H=CpdT를 설명할 때나, 앞선 열역학 강의들에서 종종 U와 H가 T만의 함수라고 하셨는데,

마지막에 멕스웰을 설명하실 때에는

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예를들어 U는 s,v의 함수여서 위와 같이 작성해주셨는데 두개가 (T만의 함수이다 vs S,V의 함수이다) 상충되고 헷갈립니다.

같은방식으로 H도 마찬가지로 헷갈리네요.. 이부분 설명 부탁드려도 될까요?! 

#멕스웰방정식 #내부에너지 #엔탈피

3. 17강에서 마지막부분에

복합 cycle을 설명하시면서 켈빈플랑크에 위배된다 하면서 하나의 열원에 의한 cycle은 순일을 만들 수 없다고 하는 부분을 설명하는 과정에서

Wc < 0 이라고 하셨는데요

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순일을 만들 수 없으면 Wc =0 or Wc<0 둘다 가능해야할 것 같은데 = 부호는 왜 이상황에서는 없는지 궁금합니다.

순일이 없다는게 0보다 작아야 하나 0은 안되나? 싶었는데

20강 클라우지우스 부등식 설명하실 때에는 combined system에서 0보다 작거나 같다로 설명을 또 해주셔서...

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혼란스럽습니다! 이부분 설명 부탁 드려도 될까요? 

#카르노정리 #켈빈플랑크서술 #가역비가역

감사합니다. 
Total Reply 3

  • 2024-10-26 05:34

    [첫 번째 질문에 대한 답변]

    굉장히 좋은 질문입니다. 답변에 앞서서, 사진에 적으신 Cp/Cv=k에서 k는 the specific heat ratio라고 하여 캘빈이 아니라 '비열비'입니다.

    전반적인 설명은 첨부된 사진을 참고해 주시고, 질문하신 내용에 대한 설명은 드리도록 하겠습니다.

    - 질문: u=CvdT, h=CpdT라는 식은 각각 정적, 정압에서만 계산되는 편미분식인데, 어떻게 이상기체의 경우, 두 조건이 동시에 만족될 수 있는가?

    - 답변: 이상기체의 경우, u와 h는 온도만의 함수이기 때문에 동시에 치환이 가능하다.

    자세한 설명은 아래와 같습니다. (자세한 내용을 알고 싶으시면, Cengel 열역학 책 p174-175 (챕터 4)를 참고하세요.)

    열역학에서 내부 에너지 변화(유, dU=d(CvT))와 엔탈피 변화(엽, dH=d(CpT))는 주로 이상기체(ideal gas)의 상태 변화에서 사용되는 식입니다. 이러한 식에서 Cv(정적 비열, specific heat at constant volume)과 Cp(정압 비열, specific heat at constant pressure)는 각각 고정된 부피와 압력 하에서의 상태 변화를 설명한다는 한계가 있으며, 실제로 두 식이 동시에 적용되는 상황은 존재하지 않습니다. 그러나, 이상기체의 특정한 특성 때문에 두 식을 함축적으로 다룰 수 있습니다. 이를 이해하기 위해서는 다음과 같은 이유와 과정이 관련됩니다.

    이상기체의 특성: 이상기체는 분자가 서로 상호작용하지 않고 고정된 부피나 압력에서 기체의 내부 에너지 및 엔탈피가 온도의 함수만으로 변한다고 가정합니다. 이로 인해 이상기체의 내부 에너지 변화와 엔탈피 변화를 계산할 때 두 조건이 구분 없이 적용될 수 있습니다. 이는 실제로 이상기체 모델에서의 단순화이며, 충분한 정확성을 제공합니다.

    열역학적 관계: Cp와 Cv는 이상기체 이론에서 Cp = Cv + R이라는 관계를 충족시킵니다. 여기서 R은 기체 상수입니다. 이 관계는 비록 내부 에너지와 엔탈피가 각각 서로 다른 조건에서 정의되었더라도, 이러한 변수들이 이상기체 상태 방정식 및 상태 변화에 대해서는 온도 변화로 나타날 수 있음을 의미합니다.

    다양한 과정에의 적용: 이상기체의 경우, 다양한 열역학적 과정(등온, 단열, 등압 등)에서도 u와 h를 포함하는 식을 사용할 수 있으며, 이는 시스템 변화를 예측할 때 효율적입니다. 주어진 과정이 이상기체의 특성에 따라서 잘 성립하는 한에서의 다양성을 의미합니다.

    요약하자면, 이상기체에서는 내부 에너지 변화와 엔탈피 변화를 이해하는 데 있어서 Cv와 Cp에 기반한 식이 온도의 변화에 대해서만 정의되기 때문에, 온도에만 의존하는 경우를 열역학적으로 잘 묘사할 수 있습니다.

    세 줄 요약:
    1. 이상기체에서 내부 에너지와 엔탈피 변화는 각각 Cv와 Cp에 의해 정의되며 온도에만 의존합니다.
    2. Cv와 Cp는 Cp = Cv + R 관계를 통해 연관되며, 이를 통해 상태 변화가 함축적으로 설명됩니다.
    3. 이상기체 특성 때문에 다양한 열역학적 과정에서 이 식들이 효율적으로 적용될 수 있습니다.

    godjunpyo2-2.png


  • 2024-10-26 05:38

    [두 번째 질문에 대한 답변]

    앞선 강의에서 u와 h가 온도 T만의 함수인 것은 이상기체의 특징이고, 맥스웰 관계식에서는 이상기체라고 전제하고 있지 않기 때문에 헷갈릴 필요가 없을 것 같습니다. (혹시 설명이 부족했다면 다시 질문해 주세요. 그러나 아마 이상기체라는 전제를 간과하셔서 생긴 질문이라 판단합니다.)


  • 2024-10-26 06:24

    [세 번째 질문에 대한 답변]

    Carnot principle에 대한 질문인데, 이를 처음부터 글로 설명하는 것은 어렵습니다. 열역학책을 꼼꼼히 읽어보시면서 스스로 이해하려고 노력해 보시기 바랍니다.

    질문은 부호에 관한 것인데요. 아래 첨부된 사진에서 책에 소개된 설명을 요약/정리해드렸습니다. 참고하세요.

    - 비가역 열기관이 가역 열기관보다 더 효율적이라고 가정(ηth,irrev > ηth,rev)한 상황에서
    - 비가역 열기관과 가역 열기관을 통합한 전체 시스템에서 단일 열원과만 열을 교환하면서 순일을 생성하게 됩니다. (Wirrev-Wrev > 0, 여기서 등호는 없습니다. 첫 번째 가정에서 비가역 열기관의 열효율이 가역 열기관의 열효율보다 크다고 가정했기 때문입니다.)

    일단 이 답변에 대해 이해가 되셨다면, Clausius inequality도 잘 이해하실 수 있을 겁니다. 반드시 책을 읽으시면서 해당 내용을 암기하지 마시고, 이해해 보시기 바랍니다.

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Thermodynamics – An Engineering Approach, Cengel & Boles, McGrawHill

Ch. 1 Introduction and Basic Concepts
Ch. 2 Energy, Energy Transfer, and General Energy Analsysis
Ch. 3 Properties of Pure Substances
Ch. 4 Energy Analysis of Closed Systems
Ch. 5 Mass and Energy Analysis of Control Volumes
Ch. 6 The Second Law of Thermodynamics
Ch. 7 Entropy
Ch. 8 Exergy
Ch. 9 Gas Power Cycles
Ch. 10 Vapor and Combined Power Cycles
Ch. 11 Refrigeration Cycles
Ch. 12 Thermodynamic Property Relations
Ch. 13 Gas Mixtures
Ch. 14 Gas-Vapor Mixtures and Air-Conditioning
Ch. 15 Chemical Reactions
Ch. 16 Chemical and Phase Equilibrium
Ch. 17 Compressible Flow

  • “열역학 한방에 끝내기” 는 초등학생도 이해할 수 있게끔 쉽고 재미있게 열역학을 설명하고 있습니다.
  • 공식만 외워서 문제를 푸는 방식은 올바른 역학 공부법이 아니고, 조금만 응용된 문제가 나오면 접근하기가 매우 어려워져 좋은 시험 점수(좋은 학점)을 받기가 매우 어려워집니다.
  • 원리와 원칙에 충실하여 어떤 문제가 나와도 개념에 충실해서 풀 수 있어야 학업성취도, 취업 면접, 대학원 시험 등에서 좋은 결과를 기대할 수 있습니다.