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string problem; 변수분리법
Ch. 6 Distributed-Parameter Systems
작성자
갓준표
작성일
2025-02-20 14:21
조회
13
# 변수분리법 #편미분
안녕하십니까 교수님. 수고 많으십니다.
26강(string problem) 내용 관련해서 이해가 될 듯 말 듯 하는 부분이 있어 질문드립니다.
앞에 내용은 이해가 됐는데, separation variables 부분부터 조금 헷갈리는 부분이 있어 제가 이해한 과정을 설명드리겠습니다. (교안 note_part_6 내용입니다.)
1. 첨부 드린 사진에 첫 번째 질문 내용을, x에 대한 함수와 t에 대한 함수가 같다고 유도되기에 매개변수 x와t 는 상수라고 이해하였습니다. 만약에 이해한 것이 맞다면, x와 t가 상수라는 게 X(x), T(t) 함수에 대해 어떤 의미인지 잘 이해가 되지 않습니다.. (아마 잘못된 이해라고 생각됩니다.)
1-1. 제대로 이해한 게 아니라면, 각 X(x),T(t)는 x와 t에 따라 변화하는 함수인데, X_two_prime / X , T_two_dot / T 형태가 될 때 각각 x와 t에 대해서 상수라는 걸까요?
2. 첨부 드린 사진에 두 번째 질문에 강의에서는 T(t)가 0이 아닌 이유를, 변위가 시간에 따라 변화하지 않는다면 진동하지 않는 것이기 때문에 우리가 공학적으로 관심있는 부분이 아니라서 0인 것은 고려하지 않는다 는 식으로 말씀주셔서 제가 이해하기로는 질문 1-1 이 맞다면 T(t)는 시간에 따라 변화하는 함수이니까 자연스럽게 넘어갈 수 있을 것 같습니다.
3. 첨부 드린 사진의 세 번째 질문 내용을, Wn(t,x)를 구하고, Wn_dot(t,x)를 구할 때 t에 대해서 미분을 해주신 것으로 이해했는데 이는 제가 이해하기로 초기 조건을 사용하기 위함으로 이해했습니다.
3-1. 여기서 의문은 질문1이 맞다면, t자체가 상수이기에 Wn(t,x)를 t에 대해 미분한다는 행위가 말이 안 되지 않나 생각이 듭니다.
3-2. 질문 1-1이 맞다면, t는 변수이기에 미분하기에 무리는 없을 것이라고 생각됩니다.
제가 생각하는 이상적인 것은 1-1이 이 맞아서 2, 3-2 로 흘러가는 흐름일 것 같습니다.
각각 개별 질문이 아니라 이어지는 질문이라 여러 개의 질문을 드렸습니다.. 긴 질문 봐주셔서 감사합니다.
감사합니다.
안녕하십니까 교수님. 수고 많으십니다.
26강(string problem) 내용 관련해서 이해가 될 듯 말 듯 하는 부분이 있어 질문드립니다.
앞에 내용은 이해가 됐는데, separation variables 부분부터 조금 헷갈리는 부분이 있어 제가 이해한 과정을 설명드리겠습니다. (교안 note_part_6 내용입니다.)
1. 첨부 드린 사진에 첫 번째 질문 내용을, x에 대한 함수와 t에 대한 함수가 같다고 유도되기에 매개변수 x와t 는 상수라고 이해하였습니다. 만약에 이해한 것이 맞다면, x와 t가 상수라는 게 X(x), T(t) 함수에 대해 어떤 의미인지 잘 이해가 되지 않습니다.. (아마 잘못된 이해라고 생각됩니다.)
1-1. 제대로 이해한 게 아니라면, 각 X(x),T(t)는 x와 t에 따라 변화하는 함수인데, X_two_prime / X , T_two_dot / T 형태가 될 때 각각 x와 t에 대해서 상수라는 걸까요?
2. 첨부 드린 사진에 두 번째 질문에 강의에서는 T(t)가 0이 아닌 이유를, 변위가 시간에 따라 변화하지 않는다면 진동하지 않는 것이기 때문에 우리가 공학적으로 관심있는 부분이 아니라서 0인 것은 고려하지 않는다 는 식으로 말씀주셔서 제가 이해하기로는 질문 1-1 이 맞다면 T(t)는 시간에 따라 변화하는 함수이니까 자연스럽게 넘어갈 수 있을 것 같습니다.
3. 첨부 드린 사진의 세 번째 질문 내용을, Wn(t,x)를 구하고, Wn_dot(t,x)를 구할 때 t에 대해서 미분을 해주신 것으로 이해했는데 이는 제가 이해하기로 초기 조건을 사용하기 위함으로 이해했습니다.
3-1. 여기서 의문은 질문1이 맞다면, t자체가 상수이기에 Wn(t,x)를 t에 대해 미분한다는 행위가 말이 안 되지 않나 생각이 듭니다.
3-2. 질문 1-1이 맞다면, t는 변수이기에 미분하기에 무리는 없을 것이라고 생각됩니다.
제가 생각하는 이상적인 것은 1-1이 이 맞아서 2, 3-2 로 흘러가는 흐름일 것 같습니다.
각각 개별 질문이 아니라 이어지는 질문이라 여러 개의 질문을 드렸습니다.. 긴 질문 봐주셔서 감사합니다.
감사합니다.
Engineering Vibration, Daniel J. Inman, Pearson
Ch. 1 Introduction To Vibration and the Free Response
Ch. 2 Response To Harmonic Excitation
Ch. 3 General Forced Response
Ch. 4 Multiple-Degree-of-Freedom Systems
Ch. 5 Design for Vibration Suppression
Ch. 6 Distributed-Parameter Systems
Ch. 7 Vibration Testing and Experimental Modal Analysis
Ch. 8 Finite Element Method
아마 가장 핵심적인 혼동은 “(X″(x) / X(x)) = (T″(t) / T(t))가 상수”라는 표현을 보고 “그럼 x와 t가 상수인가?”라고 오해하기 쉬운 점일 것입니다. 결론부터 말씀드리면,
• x와 t는 당연히 (공간좌표와 시간좌표로서) 변하는 변수입니다.
• 단지, “(X″(x) / X(x))는 x에 대해 일정한 어떤 상수 값”이고, “(T″(t) / T(t))는 t에 대해 일정한 어떤 상수 값”이며, 이 두 상수가 서로 같아야 한다는 뜻입니다.
아래에서 질문들을 순서대로 짚어가며 하나씩 정리해 드리겠습니다.
──
“분리변수법”에서 말하는 상수의 의미
──
① 2차 편미분방정식을
(일반적으로) c² ∂²W/∂x² = ∂²W/∂t²
와 같은 형태로 가정하고, W(x,t) = X(x) T(t) 라고 분리하여 대입하면,
c² (X″(x)T(t)) = (X(x)T″(t))
양변을 X(x)T(t)로 나누어주면
c² · X″(x) / X(x) = T″(t) / T(t)
라는 식이 얻어집니다.
② 왼쪽은 x만의 함수, 오른쪽은 t만의 함수이므로, x·t 어느 쪽으로 바뀌어도 현재 이 값이 항상 동일(같은 숫자)해야 합니다.
→ 오직 한 가지 가능성: 양변이 똑같은 ‘상수’가 된다는 것입니다. 보통 이를 분리상수(separation constant)라고 부릅니다.
→ 예를 들어,
c² · X″(x) / X(x) = −ω², T″(t) / T(t) = −ω²
와 같은 형태가 됩니다(문제 설정에 따라 λ, k², −ω² 등 명명이 달라짐).
③ 여기서 “x와 t가 상수다”라는 말이 아니고, “X″(x)/X(x)라는 ‘x에 관한 비(比)’가 어떤 상수(예: −ω²/c²)가 된다”와 “T″(t)/T(t)라는 ‘t에 관한 비(比)’도 같은 상수(−ω²)가 된다”는 의미입니다.
──
정리하면
──
• X(x), T(t)는 각각 x와 t에 따라 변화하는 함수입니다.
• 그 둘을 동시에 만족시키기 위해 X″(x)/X(x)와 T″(t)/T(t)가 각각 상수 값(동일값)이 되는 것이 바로 ‘분리변수법의 핵심’입니다.
• x나 t 그 자체가 상수라는 뜻이 전혀 아닙니다.
──
“T(t)가 0이면 제외한다”는 말의 배경
──
① 어떤 분리상수를 얻고 보통미분방정식을 풀면, 어떤 경우에는 “T(t) ≡ 0” (즉 시간에 대해 완전히 0)인 해가 나올 수 있습니다.
마찬가지로 “X(x) ≡ 0”인 경우도 있을 수 있습니다.
② 물리적으로(특히 진동, 파동, 구조물 거동 등에서) 공간이나 시간 방향으로 “0만 값이 나오는 해”는 ‘아무런 거동도 없는 해’, 즉 ‘무의미한 해( trivial solution )’라고 부릅니다.
우리가 관심있는 건 실제로 변형되거나 움직이는 ‘비(非)trivial 해’라고 해서, 적분상수 등을 조정해가며 즉 T(t)=0이 아닌 형태의 해를 찾게 됩니다.
③ “T(t) = 0인 해는 의미가 없어서 버린다”는 것은 바로 위 이유 때문입니다.
만약 진동문제에서 시간적 진동이 전혀 일어나지 않는다면(언제나 0이면), 물리적으로는 ‘진동이 없는 정적 해’뿐이므로 엔지니어링이나 물리학적 관심사에서 제외한다는 것입니다.
이렇게 0이 아닌 해만 모아서 문제를 풀어나가는 과정을 강의에서 “이건(0인 경우) 안 볼게요”라고 간단히 정리했을 것입니다.
──
초기조건에 의한 Wₙ(t,x) 미분과 “t가 변수인가?”
──
① “Wₙ(t,x)를 t에 대해 미분”한다고 했을 때, t를 변수로 여기지 않는다면 말이 안 됩니다.
실제로 t는 시간변수이므로, 당연히 T(t)는 t에 대해 변하는 함수입니다.
따라서 “Wₙ(t,x)을 t로 미분하여 초기조건(W(0,x) = W₀(x), ∂W/∂t(0,x) = V₀(x) 등)을 맞추어야 한다”는 것은 정상적인 해석입니다.
② 만약 “x, t가 상수라면 t에 대해 미분이 불가능하다”고 생각하셨다면, 앞서 말했듯이 “(X″/X), (T″/T)가 상수”라는 문장을 “변수 x와 t가 고정”이라고 잘못 해석하셨기 때문입니다.
올바른 해석은 “X(x)와 T(t)가 각각의 변수에 대해 어떤 상수 형태의 일반해를 만족한다”는 이야기입니다.
따라서 t는 여전히 시간에 따라 변하고, 그에 따라 T(t)도 변함을 전제로 초기조건을 맞춰주는 과정을 거치는 것입니다.
──
정리하여 답변 드리면
──
1) “x, t가 상수인가?”라는 혼동은 “(X″/X) = (T″/T) = 상수”라는 표현을 잘못 해석한 데서 온 것입니다.
실제로는 x, t 둘 다 변하는 변수이고, 각자에 대한 2차 미분/함수의 비가 (서로 같은) 상수라는 것이 정확한 의미입니다.
2) T(t)가 0이 아닌 이유는, 진동문제에서 시간에 따른 변위가 전혀 없는 해(=0)는 물리적으로 아무 의미가 없기 때문입니다.
따라서 우리가 찾고자 하는 “유의미한 해”에 대해서는 T(t)를 0으로 두지 않는다고 설명합니다.
3) 초기조건과 관련하여 W(t,x)를 t로 미분하는 과정은 “t는 분명 변수”라는 전제하에서 이루어집니다.
이는 (1)에서 말한 “x와 t가 상수”라는 오해와 정면충돌하는 부분으로, (X″/X), (T″/T)가 상수라는 사실과 “t는 시간변수로서 미분 가능”하다는 사실은 양립할 수 있습니다(서로 다른 맥락이기 때문입니다).
결국 질문하신 바대로,
(1) “X(x), T(t)는 각각의 변수에 따라 변한다”가 맞고,
(2) “(X″/X)와 (T″/T)가 상수 = 분리상수”개념이 바로 이것을 표현하는 것,
(3) T(t)=0의 경우를 따로 고려하지 않는 것은 진동문제에서 의미 없기 때문,
(4) 그러므로 초기조건을 위해 t에 대해 미분하는 것(즉 W(t,x)를 t로 미분)도 당연하다,
…이렇게 일관되게 연결됩니다.
도움이 되셨길 바라며, 분리변수법을 익히실 때 가장 자주 하는 혼동이니 너무 걱정하지 않으셔도 됩니다. 공부에 힘이 되시길 바랍니다!