질문의 요점을 간단히 정리하면,

“등온 과정(1→2)에서는 T₁=T₂ 이므로 ΔU=0, 따라서 Q=W가 성립하는데,
왜 (1→1′ 단열) + (1′→2 등압) 경로에서도 마치 ‘Q=W’(등온식)와 같은 결과를 적용할 수 있는가?”
와
“내가 부분과정(단열→등압)으로 나누어 합산한 식과 무엇이 충돌되는지 궁금하다.”

일 것입니다. 핵심은 “처음 상태(1)와 끝 상태(2)가 동일하기만 하면, ‘전체 ΔU=0’가 되어 결국 Q=W가 성립한다”는 사실입니다. 구체적으로 말씀드리면:

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1) 등온 과정에서 Q=W인 이유
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• 이상기체에서 내부에너지 U는 온도에만 의존합니다.
• 등온 과정이라면 온도가 변하지 않으므로 ΔU=0 → 전체 열( Q )=일( W )이 됩니다.

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2) “단열 + 등압” 경로도 결국 같은 초기·최종 상태에 도달한다면
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• 1→1′(단열 과정)에서 Q=0이므로 이 구간의 일은 W₁₋₁′=−ΔU₁₋₁′가 됩니다.
• 이어서 1′→2(등압 과정)에서 Q=ΔH = nCₚ ( T₂−T₁′ ),
또 이 구간의 일은 W₁′₋₂=Q−ΔU = nCₚ( T₂−T₁′ )−nCᵥ( T₂−T₁′ ) = nR( T₂−T₁′ )
…등등 각 구간 식은 잘 쓰셨듯이 문제 없습니다.

• 결국 전체(1→2)에서의 ΔU는 “(1→1′에서의 ΔU)+(1′→2에서의 ΔU)”.
만약 최종 온도 T₂가 초기 온도 T₁와 같다면 ΔU(전체)=0이 되어,
“Q(전체) = W(전체)”라는 결론이 다시 나오게 됩니다.

즉, 중간에 T₁′(단열 끝 온도)가 무엇이든 간에,
결국 처음(1)과 끝(2)의 온도가 같으므로 전체 ΔU=0 → 전체 Q=W가 성립하는 것이죠.

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3) “내가 구한 식과는 어떻게 양립하나?”
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• 질문에서 적어 주신
W(전체)=nCₚ( T₂−T₁′ )−nCᵥ( T₂−T₁′ )−nCᵥ[ΔT(1′−1)]=nCₚ( T₂−T₁′ )−nCᵥ( T₂−T₁ )
같은 표현 자체는 부분 과정들을 정확히 합산한 식입니다.

• 그런데 최종적으로 T₁=T₂인 조건(등온 과정과 ‘최종 상태’가 같다는 가정)을 대입해보면
T₂−T₁ = 0이므로,
W=nCₚ( T₂−T₁′ )이 됩니다.

• 이 조건을 넣고 정리해보면 전체 W가 결국은 (등온 해석과 동일하게) Q=W 형태로 귀결됩니다.(1→1′에서는 Q=0)
즉, “중간에 T₁′이 달라져도, 끝 온도가 다시 T₁와 같다면 최종 ΔU=0”이기 때문입니다.

결국 “단열→등압” 경로로 가거나 “등온” 경로로 가거나, 초기·최종 상태(따라서 T₁=T₂)가 동일하기만 하면
본질적으로 ΔU=0 이므로 전체적으로 Q=W라는 동일결과가 나옵니다.
선생님께서 Another solution에서 Q=W를 그대로 쓴 것도 바로 이 같은 ‘초기·최종 상태 일치 → ΔU=0’라는 전제에서 나온 것이지,
등온 과정식을 임의로 가져다 쓴 것은 아니라고 이해하시면 됩니다.