질문
첨부파일 문제에 d(x)가 da와 db 사이에 임의로 그은 줄을 d(x)로 두신거잖아요
근데 어떻게 저렇게 유도되는지 계속봐도 잘 모르겠네요.. 기울기가 어디 기울기 말씀하시는지도 잘 모르겠어요
답변
이전에 두세번 나왔던 질문이니 같이 참조해보시면 좋겠습니다. 기울기는 중심축 위로 지나는 A와 B를 지나는 대각선이 되겠습니다. d(x)가 임의로 그은 ‘줄’에 의해 구한 것은 맞지만 그 줄에서부터 중심축까지의 거리(d)임을 헷갈리시는 건 아니신지 모르겠네요.
이전 답변: 물론 비례식으로 d에 대한 함수를 구해도 됩니다. 중요한 것은 여기서 구간마다 바뀌는 직경에 대한 함수를 구해야한다는 겁니다. d(x) 를 구해야 적분을 할 수 있기 때문이죠. 구하는 방법은 여러개니까 편하신대로 구하셔도 됩니다.
식이 유도되는 과정이 잘 이해가 안가신다고 하여 다시 설명드리자면 아래와 같습니다. d(x)를 구하는 방법은 간단합니다. 우리 간단하게 중학교 때 배웠던 그래프나 함수를 기억해보실게요. 칠판에 있는 그림 중에 우리 위에 삼각형에 집중해봅시다. 그러면 O를 원점이라고 가정하고 (L, dA) 와 (2L, dB) 이라는 2개의 점이라고 생각해볼게요. 그리고, d는 위와 아래를 포함하는 직경이기 때문에 반지름인 (L, dA/2) 와 (2L, dB/2)라고 생각하는 것이 맞겠죠. 그러면 그 둘을 연결하는 선을 x에 대한 함수로 표현하면 되겠죠. 일단 기울기(a)는 각 두 점 사이의 변화량이므로 아래와 같이 표현됩니다.
a = \frac{\frac{dB}{2} – \frac{dA}{2}}{2L-L} = \frac{\frac{dB}{2}-\frac{dA}{2}}{L} (기울기 구하는 방법: y변화량/x변화량)
우리 기울기가 a이고 (b, c) 점을 지나는 함수는 y=a(x-b)+c로 구할 수 있죠? 그러므로 두 점을 잇는 선은 아래와 같이 유도가 되겠죠
y = \frac{\frac{dB}{2}-\frac{dA}{2}}{L}\,(x-L)+\frac{dA}{2} (1차 함수 일반식, 다들 아시죠?)
하지만 우리가 원하는 것은 직경입니다. y가 아니죠. d의 값은 y의 2배이기 때문에 결국 아래와 같이 식이 완성됩니다.
d(x) = 2\,y = 2\,( \frac{\frac{dB}{2}-\frac{dA}{2}}{L}\,(x-L)+\frac{dA}{2} ) (우리가 원하는 것은 y가 아닌 지름, d!)
우리 근데 조금 복잡해보이니, dB=2\,dA라는 관계를 이용해서 식을 좀 더 단순화시키면 아래와 같습니다.
d(x) = 2\,(\frac{\frac{dA}{2}}{L}\,(x-L)+\frac{dA}{2}) (최종식)
글로 설명하다보니 다소 부족한 부분이 있었을 것 같은데요. 이해가 되셨기를 바랍니다.
