재밌는 질문이네요.

먼저, y = f(t, x1, x2, ..., x_n)의 꼴이면, 모두 Direction Field(Slope Field의 또 다른 표현)로 표현될 수 있습니다.
이 부분은 n 차원으로 확장될 수 있음을 의미하죠. 하지만, 문제는 이걸 시각적으로 표현할 수 있겠느냐가 문제겠지만요.

결론적으로 말씀드리자면, 나타낼 수 있으며, Maxwell's Equation과도 관련이 있습니다.
제가 지금부터 말씀드릴 부분은 일반 종합대학의 전자기학(Introduction to Electrodynamics, Griffiths) 수업에서도 잘 다루지 않는 내용을 일부포함합니다. 이해가 안 가신다면, 패스하셔도 좋습니다.

먼저, Electrodynamics에서는 정말 다양한 형태의 Maxwell's Equation이 존재합니다.
1. Electrostatics
2. Electromagnetic statics
3. Electromagnetic dynamics
4. Energy, Potential Term Maxwell's Equation
5. Macroscopic Equations
6. Gauge Term Maxwell's Equations
7. 4-Vectors Maxwell's Equations
...

수 많은 표현의 Maxwell Equation이 존재합니다.
이 질문에서 필요한 부분은 Electromagnetic Statics입니다.
Electromagnetic Statics에서 Maxwell's Equations는 첨부한 사진과 같습니다.

이 식을 통해서 질문의 답을 유추하셔도 좋고, 그냥 제 설명을 이어서 읽으셔도 좋습니다.
답을 말씀드리자면, 전기장 혹은 자기장으로 인해 철가루가 만드는 Field 자체가 Direction Field입니다.

이해가 쉽도록 전기장을 예시로 설명해드릴게요.
∇V = E
전기장은 위와 같은 수식을 만족합니다.
(∇, E는 Vector, V는 Potential, E는 전기장)

이 수식을 생각해보시면, Potential Function에 대한 Vector 미분 형태가 전기장입니다.

이 개념을 한 번 자기장에 한 번 적용시켜볼게요.
사실 자기장은 Potential이 없습니다.
Potential과 E-field와 비슷한 관계의 개념 자체가 없었습니다.
근데 사실 E-field와 B-field의 동작은 정말 유사한데, 없습니다.
그래서, 과학자들이 미분을 했을 때 B-field가 나오는 어떤 함수를 찾으면 어떨까라는 질문에서 탄생한 개념이 바로 Vector Potential입니다.
지금까지 보셨던, Potential들은 모두 Scalar Potential일 겁니다. 하지만, Vector Potential은 Vector 성질의 Potential입니다.
그래서, 이를 이용해 계산해보니, 다른 E-field로 나타내질 수 있는 공식들과 정말 유사한 형태가 나온다는 것을 발견했습니다.
뭐, 설명은 이 정도로 해 놓고.
그래서, 그 관계는 이렇습니다.
∇ × A = B
(∇, A, B 모두 Vector, ×는 외적)

고등학교 수준에서 이를 이해하기 위해서는, 자기장이지만, 전기장이라고 생각해보시고, Equipotential Line(등전위선)을 한 번 그려보세요. 그리고 전기장도 한번 Equipotential Line위에 그려보세요. 그러면 이해가 갈 것 같습니다.

다만, 주의할 점은 Potential은 r^2에 반비례하지만, E-Field는 r에 반비례합니다.

그리고, 이런 식으로 전기장, 자기장이 나와서 어느 쪽으로 들어가는 형태도 수학적으로 풀 수는 있기는 합니다.
하지만, 정말 힘듭니다.
그래서, Uniqueness Theorem을 활용해 Trick으로 풀어버리는 것이 아주 일반적인 방법입니다(이 방법은 일반 종합대에서 전공학생들도 제대로 배우지 않는 경우가 있습니다).
다른 방법도 있을 수 있겠지만, 정말 힘듭니다.
Trick은 어떤 +, -의 전하를 잘 배치해두고, 그걸 통해서 가정으로 풀어버리는 겁니다.

질문주신 상황도 비슷하게, 막대자석이지만, N극 Source와 S극의 Source로 가정해 두면 풀 수 있습니다.
물론 이 상황도 N, S극을 각각 +, - 전하로 바꿔서 생각해도 크게 지장은 없을 것 같아 보입니다.
그렇게 되면, +전하를 기존에 존재하던 -전하의 반대쪽에 아주 잘 배치합니다. 그리고, -전하는 그 반대에 배치합니다.
이런 식으로 계속 배치해 나가면서, 근사를 하여 이 문제를 함수로 나타낼 수 있습니다.

저도 이 부분은 암산으로 나오지 않기 때문에, 식은 구하지 않도록 하겠습니다.

답변이 다소 늦어서 죄송합니다.

철가루가 slope field와 비슷하게 나오는 이유는
철가루의 형태가
길쭉한 형태인 1D material이기 때문에
자기장의 방향과 일치하는
즉 접선 방향으로 정렬되기 때문에
calculus에서 보시는 slope field와 비슷한 모양으로 나타나는 것입니다.

전기장이나 자기장의
어떤 미분방정식을 말씀하시는지는 몰라서
더 정확한 답변을 드리는 것이 어려운 것 같습니다.

고등학교 때부터 이렇게 열심히 공부하려는 자세가 참 보기 좋습니다.

꾸준히 공부하셔서
물리/수학 등에 재미와 실력 모두 얻어나가시길 바랍니다.

감사합니다.