질문하신 것을 보니
아래의 링크를 이미 보신 것 같습니다.

https://godjunpyo.com/castiglianos-theorem-카스틸리아노-정리/

P1, P2, ..., Pn의 힘이 가해지면서
δ1, δ2, ...δn의 처짐이 발생한다고 가정합니다.

이 상황을 다시 표현하면
가해준 P라는 힘은
구조에
external work, We(기계적인 일)을 가한다는 것이고

에너지를 받은 구조는
그 기계적인 일과 같은 크기인
U만큼의 strain energy로 저장을 하게 됩니다.

정리하자면,
P1, P2, ..., Pn의 힘과
δ1, δ2, ...δn의 처짐에 의해
발생한 strain energy가 U가 된다는 것인데

만약
Pn이 dPn만큼 살짝 달라졌다고 하면
δn도 dδn 만큼 살짝 달라질 것이고
U도 dU만큼 살짝 달라질 겁니다.

이를 식으로 표현하면

U+dU = U' = U + ∂U/∂δn*dδn
으로 됩니다.

그렇다면 이와 같은 값인
external work는 어떻게 표현될까요?

We + dWe = We' = We + Pn*dδn + 1/2*dPn*dδn
이 됩니다.

여기서 주의해야 할 것은
Pn' = Pn + dPn이 되기 때문에
변화된 deflection, dδn에 대한 에너지를 구할 때
- Pn*dδn
- 1/2*dPn*dδn
2가지 항이 나올 수 있다는 것입니다.

그러나 1/2*dPn*dδn의 경우
그 크기가 워낙 작아서
무시되고
We + dWe = We' = We + Pn*dδn
We' = U'이기 때문에

We + Pn*dδn = U + ∂U/∂δn*dδn
라는 식이 도출되어
Pn = ∂U/∂δn
이라는 결과가 나옵니다.

학생분이 질문하신 내용은
카스틸리아노 정리를 증명하는 과정에서
Pn과 δn를 바꾼 것인데
같은 방법으로 하면
δn = ∂U/∂Pn
라는 결과가 나옵니다.

역시 dPn와 dδn에 의한
external work는 너무 작아서 무시됩니다.
(학생분께서 생각하신 게 맞습니다.)

정리하자면
Pn이 dPn만큼 달라졌을 때
추가되는 에너지는
dPn*δn 뿐만 아니라
1/2*dPn*dδn만큼의 탄성에너지도 있습니다.
Pn이 달라지면 δn도 달라지기 때문입니다.

어차피 무시되긴 하지만
유도하는 과정에서 잘 확인하시면 좋을 겁니다.

질문에 대한 답이 됐기를 바랍니다.
감사합니다.

첨부파일 : The-Theorem-of-Least-Work_2012.pdf

[학생분의 추가 질문]

#카스틸리아노 #additional work #증명

안녕하세요 교수님 카스틸리아노 정리에 대하여 이해를 하려고 교수님 강의와 전공교재를 참고해서 다시 증명해보았는데

추가적으로 막히는 부분이 있어 질문드립니다

에너지에 대한 두가지 식이 등식임을 통해 나타낼때

뒤에식에선 additional work를 dpi * 델i 로 고려해 주었는데

앞에식에서 additional work인 (Pn+dPi)*d델i 를 고려하지 않고 식을 작성했는데 왜 고려하지 않는건가요??

완벽히 이해가 가지않아서 재질문드립니다..
감사합니다!

dPn이 추가되면서 발생하는
additional work에 대한 이해에 어려움이 있으신 것 같습니다.

이전 답변에서 말씀드렸듯이
P1, P2, ..., Pn의 힘과
δ1, δ2, ...δn의 처짐에 의해
발생한 strain energy가 U가 되는데

우리는 여기서
Pn이 아니라
Pn+dPn이 가해진다고 가정을 하고 있습니다.

당연히 증가한 힘에 따라
δn이라는 displacement에서
δn+dδn로 추가 처짐이 발생할 겁니다.

그럼 additional work를 어떻게 계산해줘야 할까요?

우리는 중첩법을 배우면서
보에 작용하는 에너지의 총합은
힘이 언제 발생하는지와는 무관하다는 것을 알았습니다.

즉,
P1, P2, ..., Pn의 힘이 작용할 때
순서대로 에너지를 계산해주지 않고,
P3, P100, P2, ..., Pn과 같이
전체 힘들만 잘 고려해주면
총 에너지는 같게 된다는 것이죠.

이전 가정에서
P1, P2, ..., Pn+dPn의 힘을 가해주고 있기 때문에
dPn, P1, P2, ..., Pn으로 순서를 바꿔줘도 상관없습니다.

dPn에 의해서 dδn이 발생했고,
strain energy의 기본 개념을 상기한다면
(dδn만큼의 displacement를 발생시키는 데에 선형적으로 dPn이 증가한다는 것을 고려했을 때)
1/2*dPn*dδn이 additional work임을 알 수 있습니다.

그리고 차근차근 다른 힘들을 고려해주면
U라는 원래 strain energy가 나올 겁니다.

여기서 한 가지 주의해야 할 것은
dPn이라는 힘이 추가로 작용할 때
이는 dδn이라는 추가 처짐을 발생시키지만
δn이 있는 상태에서 dPn이 가해지고 있다는 사실을 기억해야 한다는 겁니다.

때문에 dPn*δn을 잊지 말고 고려해줘야 합니다.

그래서 dPn만큼 힘을 증가시켰다고 가정할 때
발생하는 additional work는
1/2*dPn*dδn + dPn*δn
가 됩니다.

물론 1/2*dPn*dδn 항은
너무 작아서 무시되겠지만요.

1/2*dPn*dδn + U + dPn*δn = U + ∂U/∂Pn*dPn
라는 에너지 평형식이 완성되어
δn = ∂U/∂Pn
라는 카스틸리아노 정리가 완성됩니다.

아마 제가 방금 드린 이 설명만 잘 이해하시면
카스틸리아노 정리는 쉽게 해결이 될 겁니다.

질문에 대한 답이 됐기를 바랍니다.
감사합니다.