다변수함수의 전미분 개념이 오래 전에 했던만큼 조금 알듯 말듯 한데, 기억을 되살려서 서술해보고자 합니다~ 확인해보시고 피드백 해주시면 감사하겠습니다!

Dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy가 z에 대한 전미분의 정의이지요~ 이 식이 어떻게 성립하는지를 보이고자 합니다~

편의상 z=f(x, y)라는 2변수함수를 3차원 평면에 나타낸다고 합시다. 그러면 z=f(x, y)는 (x, y)에 따라 z가 유일하게 결정되는 곡면이 될 것입니다.

주어진 2변수함수의 어떤 점을 (a, b, f(a,b))라고 해봅시다. 그렇다면 그 점에서의 접평면이 유일하게 존재할 것입니다. 곡면이 일반적으로 까다롭기에 (a, b)에서 아주 가까운 점에 대해서는 곡면을 이 접평면에 근사하는 것도 가능할 것입니다~



그림과 같이 (a, b, f(a, b))에서 아주 가까운 점 (a+dx, b+dy, f(a+dx, b+dy))을 생각할 수 있습니다. 여기서 z값의 변화량이라 하면 f(a+dx, b+dy)-f(a, b)인데, x와 y의 변화를 같이 추적해야 하기 때문에 일반적으로 복잡하고 분석하기 어렵습니다. 분석의 편의를 위해서 1)곡면을 접평면에 근사하고, 2)x변화 따로, y변화 따로 추적하겠습니다.

먼저 x의 변화입니다. 그림의 노란 접평면 왼쪽 위 꼭짓점에 도달해야 합니다. y=b 평면으로 주어진 곡면과 접평면을 잘라보면 각각 곡선과 접선이 됩니다. 이 접선의 기울기는 ∂z/∂x이므로 해당 꼭짓점의 z값은 f(a, b)+(∂z/∂x)dx입니다. 그 다음은, 여기서 출발하여 (a+dx, b+dy, f(a+dx, b+dy)를 근사한 접평면 상 점까지 도달하는 것이 목표입니다. x=a+dx 평면으로 주어진 곡면과 접평면을 잘라보면 역시 각각 곡선과 접선이 됩니다. 접선의 기울기는 ∂z/∂y이므로 해당 꼭짓점의 z값은 f(a, b)+(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy가 됩니다.

이로부터 z값의 변화량 Dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy임을 알 수 있습니다.

Dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy의 의의는, 다변수함수의 전미분을 독립변수 하나씩 분해하여 분석할 수 있으며, chain rule의 기초가 된다는 것입니다.

Chain Rule

Dz/Dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt)

일반적인 n변수함수에 대해서도 같은 식이 성립합니다.