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Fourier Series에서 a_0
Fourier Series에서 a_0를 다른 c나 d같은 상수 문자가 아니라 뒤의 a_n과 연관성 있어보이게 쓰는 이유가 있을까요? 언뜻봐서는 큰 연관성이 없어보입니다만..
Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig
Ch. 1 First-Order ODEs
Ch. 2 Second-Order Linear ODEs
Ch. 3 Higher Order Linear ODEs
Ch. 4 Systems of ODEs. Phase Plane. Qualitative Methods
Ch. 5 Series Solutions of ODEs. Special Functions
Ch. 6 Laplace Transforms
Ch. 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems
Ch. 8 Linear Algebra: Matrix Eigenvalue Problems
Ch. 9 Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl
Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral Theorems
Ch. 11 Fourier series, Integrals, and Transforms
Ch. 12 Partial Differential Equations (PDEs)
Ch. 13 Complex Numbers and Functions
Ch. 14 Complex Integration
Ch. 15 Power Series, Taylor Series
Ch. 17 Conformal Mapping
Ch. 18 Complex Analysis and Potential Theory
f(x)는 주기가 2pi인 함수이므로 -pi부터 pi까지(주기함수이므로 범위는 크기가 주기와 같기만 하면 상관없음) 적분한 값을 2pi로 나눠주겠다는 것은 f(x)의 평균값을 구하겠다는거죠 그러니까 a_0는 f(x)의 평균값을 나타냅니다. an이나 bn도 역시 f(x)를 삼각함수로 필터링한 것의 평균값의 2배이죠 결국 둘다 주기함수의 평균값을 식으로 나타낸거니 연관성이 보일 수 밖에 없는것 같습니다
그렇네요 평균값의 관점으로 볼 수 있네요.. 감사합니다!
연관성이 있습니다. f(x)를 Fourier Series로 나타낼 때에 n=0부터 표현하는 것도 가능합니다. 다만, 많은 대학들, 교과서 그리고 인터넷에서 혼동을 우려해서 a_0을 미리 빼내고 n>=1 인 영역부터 a_n으로 사용을 합니다.
비단 이 결과뿐만 아니라, a_n, b_n을 증명하신다면, 증명에는 Fourier Trick이라는 수학적 기법을 사용하게 됩니다. 이 방법을 사용해서 증명을 하게 된다면, a_n = ~~~ 나오다가 마지막에 상수텀이 하나 나옵니다. 계산해보니 이게 a_n에서의 a_0라는 결론이 나온겁니다. 반대로 b_n은 이러한 텀이 없어서 항상 b_0 = 0이 된 것입니다.
아핫 그렇군요~ 감사합니다!