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[공업수학 한방에 끝내기 04강] Frobenius Method에서의 해석성
안녕하세요.
Frobenius Method에서 해석성에 관해 질문이 있습니다.
첫번째 사진에 나온 식의 해석성을 판단할 때는 b(x)/x 나 c(x)/x^2 처럼 분모가 0이 되어 발산하는 경우가 있어서 해석적이지 않다는 것은 잘 이해가 되었습니다.
그래서 두번째 사진에 나온 식의 해석성을 판단할 때, 저는 p(x)와 q(x)를 각각 f(x)로 나눠주어 p(x)/f(x), q(x)/f(x) 의 수렴, 발산으로 해석성을 판단하면 될 것이라고 생각했습니다.
두번째 식의 해석성을 판단할 때 p(x)/f(x), q(x)/f(x) 앞에 왜 x와 x^2이 붙는지 잘 모르겠습니다.
감사합니다.
Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig
Ch. 1 First-Order ODEs
Ch. 2 Second-Order Linear ODEs
Ch. 3 Higher Order Linear ODEs
Ch. 4 Systems of ODEs. Phase Plane. Qualitative Methods
Ch. 5 Series Solutions of ODEs. Special Functions
Ch. 6 Laplace Transforms
Ch. 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems
Ch. 8 Linear Algebra: Matrix Eigenvalue Problems
Ch. 9 Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl
Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral Theorems
Ch. 11 Fourier series, Integrals, and Transforms
Ch. 12 Partial Differential Equations (PDEs)
Ch. 13 Complex Numbers and Functions
Ch. 14 Complex Integration
Ch. 15 Power Series, Taylor Series
Ch. 17 Conformal Mapping
Ch. 18 Complex Analysis and Potential Theory
안녕하세요.
굉장히 중요하고 좋은 질문을 주셨습니다.
이를 답변드리려면
수학적으로 접근해야 하고
매우 어렵습니다.
아마 수학적인 질문을 주신 것은 아닐테고
위에서는 y" 앞에 곱해져 있던 x2을 나눠서 해석적인지 판단했는데
왜 아래에서는 f(x)로 나누고 나서 다시 x 또는 x2을 곱하는지...?
이게 궁금한 내용일 겁니다.
Frobenius의 아름다움은
각 항이 발산함으로 인해서
power series를 적용하지 못하는 경우
어떻게 미분방정식의 해를 어떻게 구할 수 있었는가에 있습니다.
Frobeinus는
Power series에서의 x를 (x-x0)로 대체해서
발산하는 것을 막는 방법으로 문제를 해결했습니다.
식이 x=x0일 때, analytic하려면
(x-x0)으로 대체된 식에서
y'에는 (x-x0)이
y"에는 (x-x0)^2이 곱해져야
기존의 항들이 x=0일 때에 영향받지 않고
analytic함을 확인할 수 있기 때문에
x, x^2 또는
(x-x0), (x-x0)^2를 곱해줘야하는 것입니다.
이해가 어렵다면,
Frobenius의 사용조건에 대한 부분만 정리하고
가볍게 넘어가셔도 됩니다.
미분방정식을 푸는 일이 중심인 공대생으로서
너무 자세하게 이해하는 데에 시간을 많이 쏟다가
전공 공부에 영향을 주면 오히려 안 좋을 수 있기 때문에
적당히 이해하셔도 괜찮으실 겁니다.
답변이 됐기를 바랍니다.
감사합니다.