1) 결론적으로 말하면, 논리적으로 2 방식 모두 가능한 설명입니다. 첫 시작은 당연히 질문자님의 말씀대로 생각하고 풀어나가는 것이 이해하기에는 유리합니다. 다만, 이해가 그 수준에만 머물러있다면 polar coordinate를 비롯해 spherical coordinate, cylindrical coordinate에서 더욱 좋은 이해력을 가져가기 힘듭니다. 결국 미분, 적분에서 '미소'라는 개념이 왜 중요한지 수학적으로도 깨달아야 하는데 그 이해는 갓준표님 방식으로 한 단계 더 나아가야 합니다.

갓준표님의 그림이 잘 이해가 되지 않을 수도 있을 것 같다는 생각이 듭니다. 그러면, 질문자님의 이해 방식과 갓준표님의 설명방식을 잇는 과도기적인 이해방식을 고려해볼 수 있습니다(물론, 제가 앞으로 설명해드릴 방식까지만 이해해도 저는 충분하다고 생각합니다). 첫번째 사진의 (a)와 같은 모습이 우리에게 주어진 상황이라고 볼 수 있습니다. 그러면, 여기에 몇 개의 선을 추가해보겠습니다. 두 반지름의 사이를 잇는 직선 그리고 각 반지름에 수직인 벡터의 가상의 연장선, 마지막으로 그 연장선을 잇는 직선 이렇게 3개를 그리면 첫번째 사진의 (b)와 같은 모습을 나타낼겁니다. 그럼 여기서 좌표계 모습과 원을 떼어 보면 (c)와 같은 모습을 얻을 수 있습니다.

그럼 이 그림에서 삼각형 ABC, 삼각형 DEF가 서로 합동임을 보여도 괜찮습니다. 결국 이 그림은 질문자님이 말씀하신 이해방식을 조금 더 수학적으로 세밀하게 쪼갠 것이라고 볼 수 있습니다. 합동 증명은 첫번째 사진의 수식에 있습니다. 그럼 이 각도를 '미소', 즉 극한적으로 0에 수렴할 정도의 매우 작게 움직인다고 생각해봅시다. 그러면 직선 DE와 호 DE는 '거의' 같아집니다. 그리고 이 '미소'들을 모은다는 개념이 적분이고, 이 '미소'들을 보겠다는 것이 미분입니다.

이 이해방식에서 갓준표님의 설명방식을 이해해보면, 벡터 BC를 평행이동시켜 아래로 조금 내려봅시다. 그러면, 점 E를 기점으로 만들어 지는 삼각형들이 갓준표님의 설명방식입니다. 그래서 결국 서로 동일한 설명방식이나 다름없습니다. 다만, 미분과 좌표계의 더 깊은 이해를 만들어가기 위해서 중요한 질문이라고 생각이 됩니다.

2) 추후 부연설명을 듣고 답변달아 드리겠습니다.

3) 상관은 없지만, 개념자체를 배울 때는 갓준표님 방식이 조금 더 이해하기에 쉽습니다. 다만, 개념 이해를 했다면, 일반적인 케이스처럼 z축과 이루는 각도를 잡는 것이 유리합니다. 왜냐하면, 수학에서 Jacobian, Rotational Coordinate (Transforms), Laplacian 등등을 배우게 되는데 이들은 일반적으로 개념 이해 이후에 일반식을 가지고 와서 사용하게 됩니다(직접유도도 가능). 하지만, 일반식은 z축과 이루는 각도를 φ로 잡았을 때를 기준으로한 일반식입니다. 따라서, xy 평면과 이루는 각도를 φ로 잡게되면 sin, cos이 반전된다던가 부호가 반대로 되는 등의 문제가 발생할 수 있기 때문입니다.

그리고 추가적으로, z축과 이루는 각도를 수학에서는 φ로, 물리학에서는 θ로 상정합니다. 착오없으시길 바랍니다.

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