안녕하세요.

좋은 질문인데,
쉽게 답변드리는 것이 좋을 것 같아
간단하게만 답변드립니다.
(조금 더 깊이 알고 싶으시면 Lagrange 내용을 찾아보세요.)

간단히 말해,
q와 q dot을 다른 변수로 취급했기 때문입니다.

어차피 변수가 시간에 대해 미분이 됐다고 하면
미분된 값은 미분되기 전의 값과 동일시되기 어렵습니다.

Lagrange의 유도에서는
이 두 가지를 다른 변수로 취급했기 때문에
y dot을 y에 대해 미분할 수가 없게되는 것입니다.

(더 자세하게 설명할 수도 있지만, 이렇게 이해하시는 게 정신 건강에 좋을 것 같습니다.)

그리고 위와 같은 질문이 발생한 이유는
수학 기초실력 때문이 아니라
부족한 역학 개념 또는 이론 때문입니다.

이런 궁금증을 해결하기 위해서
수학을 복습하는 것은
물론 좋은 학습 방법이지만,

시간효율적이지 않을 수 있으니
필요에 따라서 잘 결정하시길 바랍니다.

수학을 공부해야 할 필요가 없는 상황이라면
차라리 역학 공부에 시간 투자를 더 하시는 것이
여러모로 좋다고 생각합니다.

질문에 대한 답변이 됐기를 바랍니다.
감사합니다.