단열지수 관계식이라 말씀하신 부분이 (T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 가 맞다면
'하지만 책에서는 등엔트로피 변화 중인 이상기체만 단열지수관계식을 사용할 수 있다고 적혀있었습니다.'
'이상기체의 단열변화는 가역이라는 가정을 하고 단열지수관계식이 나오는건가요'
두 문장 모두 맞습니다.
엄연히 '등엔트로피'의 관계에 있을 때만 사용할 수 있는 관계식이며
과정이 단열이라 하더라도 '등엔트로피'가 아니라면
(T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 식의 적용이 불가합니다.

즉, 예제가 특수한 것이 아니라
단열과정일 때 (T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 를 적용할 수 있는 케이스가 특수한 것입니다.

안녕하세요, 저도 같은 Cengel 책으로 공부를 하고 있어 도움이 되실까 싶어 댓글을 남깁니다.
Chapter7 Isentropic Processes of Ideal Gases (제 기준 page 355) 부터 읽어보시면
가정 1. constant specific heat
가정 2. Isentropic process
두 가지를 가정하여 단열지수 k를 이용한 각 상태량의 관계를 유도하고 있습니다.
가정 2인 Isentropic process는 단열과정 중 하나로 엔트로피 변화가 하나도 없는 (irreversibility가 하나도 발생하지 않는) 아주 이상적인 경우입니다. 수많은 단열과정 중 아주 특별한 경우인 셈이겠네요. 말씀하신대로 isentropic은 가역과정이라는 가정이 필요할듯하네요.

문제에서는 compressor를 다루고 있는데, Figure7-50을 보시면 Actual process가 같은 압력차를 만들기 위해서 더 많은 에너지를 사용합니다. 이상적인 isentropic 보다 얼마나 더 많은 에너지를 요구하는지를 정량화 한것이 isentropic efficiency 라는 것도 책에서 언급합니다.

저도 오랜만에 열역학 책을 펴서 공부하는 입장이라 정확한지 100% 확신은 못하겠습니다. 도움이 되셨으면 하고, 부족한 부분 혹은 틀린 부분 있으면 댓글로 알려주시면 저도 배우겠습니다.