(T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 식에 대해 센겔은 '이상기체 등엔트로피 관계식'이라고 표현하며, 모란 사피로 책에서는 '등엔트로피 과정임을 가정하고 도출해낸 식'이라고 표현합니다. 이미 제가 증명과정은 올려드렸으니 그렇게 불리는 이유는 쉽게 파악하실 수 있을 것입니다.

(T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 식을 dq=du+pdv 식을 통해 도출해냈다고 하셨습니다. 실제로 이 식에서 dq=0, 즉, 단열과정이라면 위 관계식을 도출해낼 수 있을 것으로 보입니다. 다만 이는 두가지 전제를 간과한 것입니다.

첫 번째로, dq=du+pdv 식은 밀폐계를 가정하여 얻어낸 식입니다. q는 경로함수이므로 어떤 상태에 있어 단번에 정의되는 상태량이 아닙니다. 따라서 이를 함부로 개방계에 적용할 수 없습니다.

두 번째로, pdv라는 표현안에 이미 그 과정이 '가역과정'임을 명시하고 있습니다. 피스톤 장치를 생각해보면, 일은 원칙적으로 외부의 압력을 부피 단위로 적분했을때 얻어지는 값이지 그 내부의 압력을 적분해서 얻어지는 값이 아닙니다. 다만 내부의 압력을 적분해서 그 값을 얻을 수 있는 경우도 있는데 그것은 준평형과정, 즉 내적 가역과정일 때만 가능합니다. 현재 쓰시고 계신 식에서 p는 내부압력을 의미하는 것으로 보이는 바, 본 식은 이미 '단열 + 내적 가역' 임을 내포하고 있는 것입니다. 따라서 '이상기체 단열 내적 가역 공식' 이라고 칭함이 더 옳을 것입니다. 이는 아울러 본 식 자체가 비가역과정에서는 엄연히 적용할 수 없는 것임을 내포하고 있습니다.

그럼 dq=du+pdv 식과 Tds = dq + pdv 식의 차이가 무엇이냐고 물으실 수 있을것 같습니다. 물론 시작은 동일합니다. 두 식 모두 밀폐계와 내적 가역임을 가정하고 도출하였습니다. 그러나 Tds=du+pdv 식은 경로함수에서 출발하였으나, 모두 상태량으로 정의되는 식으로 변형되어 밀폐계이든 개방계이든, 가역이든 비가역이든 '두 상태의 상태량'만 지정되면 항상 성립하는 식이 되었습니다. 그러나 dq=du+pdv 식은 경로함수인 dq 항이 여전히 존재하는 바, 두 상태량이 정해지면 그에 상응하는 열량이 정해져 버리는 기이한 현상이 발생하게 됩니다. 이는 dq를 상태량으로 간주하는 것과 다를 바 없습니다.

결국 (T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 식은 Tds=du+pdv 식에서, 두 상태의 엔트로피가 차이가 0일때, 즉 '등엔트로피' 과정에서 쓸수 있는 것이지 '단열'과정에서 쓸 수 있는 식이 아닙니다. 다만, '단열 + 내적 가역'의 전제가 만족될 때, 엔트로피 변화가 없기 때문에 본 식을 적용할 수 있는 것입니다. 이는 본 관계식이 단열과정이 아닌 경우에도 적용될 수 있으며, 단열과정이라도 본 식이 적용될 수 없는 경우가 있다는 것을 의미합니다. 따라서 이를 단순히 단열 공식이라 칭해서는 안됩니다.

마지막으로 오해가 있으신 것같아 덧붙이자면, 저는 국가시험을 준비하고 있는 사람이며, 열역학 강의는 대학교 및 타 학원에서 수강하였지 교수님의 강의를 통해 들은적이 없습니다. 다만, 열역학 관련 의문점이 생겨 이를 해결하고자 이 사이트에 질문을 올리게 된 것입니다.

하지만 tds eq가 개방계에서 적용되지 않는다고 주장하실 때 부터 저는 질문을 하는 입장이 아니라, 교수님과 의견을 나누는 입장에 서있습니다. 즉, 교수님에게 일방적으로 정보를 얻으려는 것이 아니라, 서로 대립되는 생각에 대해 누가 맞는지 겨루어 보고 있는 것입니다. 따라서 교수님께서도 제가 무조건 틀렸고 혼동하고 있다고 생각할 것이 아니라, 제가 어떤 주장을 하는지 살펴 이에 대해 반박을 하시든, 동의를 하시든 의견을 제시해주셨으면 좋겠습니다.

감사합니다.

추가로 더 언급하자면,
결국 이런 질문이 생긴 이유는

(만약 제 강의를 듣고 궁금증이 생기신 거라면)
제가 dq=du+pdv를 바탕으로 이상기체 단열공식을 유도했기 때문에
단열공식이 혹시라도 위치/운동에너지가 없는 상태에서만 적용할 수 있는 것으로 헷갈리신 건 아닐까 생각이 듭니다.

이상기체 단열공식은
말 그대로 이상기체가 단열과정을 거칠 때 사용될 수 있는 식이고,
열역학 1법칙을 바탕으로 상태량을 구하는 데에 사용됩니다.

이상기체의 가장 큰 특징은
내부에너지 또는 엔탈피가 온도만의 함수라는 점입니다.

때문에 단열과정이라는 특성을 이용해서
처음과 나중 온도를 알 수만 있다면
이상기체의 처음과 나중 상태량이 바로 결정이 되는 것이죠.

그런데 궁금하신 것은
이 공식이 유도되는 근간인 열역학 1법칙에서
운동/위치에너지가 무시했었는데

운동/위치에너지를 무시할 수 없는 상황에서
어떻게 이 식을 그대로 사용할 수 있냐는 점일 겁니다.

만약 제가 이해한 바가 맞다면,
그 부분에 대해서는 걱정하실 필요가 없습니다.

왜냐하면 이미 문제에서 주어진 처음과 나중 압력이
그 모든 변화를 반영해준 값이기 때문입니다.

문제에서 주어진 처음과 최종 압력을 바탕으로
그리고 이상기체, 단열과정이라는 특성을 바탕으로
우리는 상태함수인 처음과 나중 엔탈피를 구할 수 있는 것이고,

이 상태량을 energy balance에 넣으면
문제에서 주어진 압력에서 함축되어 있던
운동에너지의 변화를 거꾸로 유추할 수 있는 것입니다.

제가 질문을 최대한 이해하려고 노력하여 답변드렸는데
혹시라도 어려운 부분이 있다면 다시 알려주시면 감사하겠습니다.

좋은 질문해주셔서 감사합니다.

[첫번째 질문에 대한 답변]
말씀하신 식은 열역학 1법칙(밀폐계)에서 사용되는 식입니다.
주로 밀폐계에서는 물질의 질량유동이 없기 때문에
특수한 경우를 제외하고는 운동에너지와 위치에너지가 고려되지 않습니다.

물론 특수한 경우에 따라 고려될 수도 있습니다.
밀폐계/개방계를 고려하기 보다는
열역학 1법칙의 의미를 정확히 아시는 것이 중요하다고 생각합니다.

일단 아래의 영상을 통해 복습해보시길 바랍니다.

[두번째 질문에 대한 답변]
올려주신 질문은 노즐에 대한 문제이고,
노즐의 경우 질량유동이 있기 때문에
밀폐계가 아닌,
개방계에서 열역학 1법칙을 적용해서 문제를 풀어야 합니다.

아래의 링크를 통해
추가적으로 공부해보시길 바랍니다.

https://godjunpyo.com/노즐-효율이-95인-상태에서-수증기가-노즐을-통과할-때/

질문에 대한 답을 드리자면,
Tds=du+pdv라는 식은
밀폐계가 아닌 개방계에서 사용할 수 없습니다.

하지만 열역학 1법칙을 적용할 수 있습니다.

Tds=du+pdv를 사용한다는 의미는
계에 있는 내부에너지와 mechanical work만을 고려한다는 것인데
개방계에 무조건 있을 수 있는
유동에너지와
Control volume상에서의 위치에너지 그리고 운동에나지의 변화는 왜 고려하지 않는지요?

이 질문이 지속적으로 나오는 이유는
학생분께서
열역학 1법칙으로 이래하려 하지 않고
굳이 du+pdv 또는 dh-vdp로 구분하려고 하시기 때문입니다.

https://godjunpyo.com/밀폐계에서-엔탈피-식은-사용이-가능한가/

위의 링크를 보시면
개방계임에도 불구하고
열역학 1법칙을 적용할 때
엔탈피를 사용할 수밖에 없습니다.

때문에 위에 질문하신 센겔의 경우도
질문에 대한 핵심은
열역학 1법칙을 적용할 수 있다는 사실입니다.

제가 올려드린 영상을 보면
Extendsive/conjugate variables 등을 이용해서
- Mechanical work
- Magnetic work
- Dielectric work 등등
이 고려되는 열역학 1법칙에 대한 내용이 있을 겁니다.
한번 꼭 다시 보시길 바랍니다.

그리고 열역학 교재를 아래와 같이 알려드리니
필요하시다면 같이 공부해보세요!

https://godjunpyo.com/열역학/?mod=document&uid=242

위의 링크에서
Zemansky 또는 Callen 책에 자세하게 설명되어 있습니다.

친절한 답변 감사드립니다. 그러나 짚고 넘어가야 할 부분이 있어 마지막으로 댓글을 남기겠습니다.

저는 현재 모란사피로, 센겔, 노승탁 교수님 저 책을 통해 공부하고 있으며 위 책은 모두 개방계에서 tds eq를 사용할 수 있음을 전제로 서술되어 있습니다.
물론 그 어느책도 열역학 제1법칙을 적용함에 있어 tds 방정식을 그대로 적용하지 않습니다. 말씀하신대로 운동에너지나 위치에너지가 포함되어 있지 않은 식이기 때문입니다.

그러나 1. 등엔트로피 과정, 2. 이상기체 임을 가정할 때, 각각
0 = tds = du + pdv = c_v dt + RT/v dv
Pv = RT
식이 성립하고 이를 통해
(T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1)
라는 식을 도출할 수 있습니다. 제가 보는 모든 책에서는 이러한 과정을 통해 위 식을 도출하며 이 식을 개방계에 적용하고 있습니다.
그런데 위 식은 Tds eq로부터 도출하였으므로 Tds eq가 적용됨이 전제되어야 위 식을 사용할 수 있는 것입니다. 그렇지 않다면 위 식의 사용이 불가능하겠죠.

그런데 교수님은 저에게 'Tds=du+pdv라는 식은 밀폐계가 아닌 개방계에서 사용할 수 없습니다.'라고 설명하셨으니, 교수님의 설명대로라면 아래의 (T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 식을 개방계에서 적용할 수 없다고 보는 것이 맞을 것입니다. 하지만 아래 사진과 같이 브레이튼 사이클 관련 설명 내용에서 교수님도 위 식을 사용하여 설명하고 계십니다. 작동유체가 없다면 사이클이 존재할 수도 없는 것인바, 사이클의 해석을 개방계로 해야함은 자명하다고 생각합니다. 저는 이러한 부분이 현재 교수님의 설명과 모순되는 것이 아닌가 생각이 듭니다.

사실 저도 교수님과 어느정도 비슷한 생각을 가지고 있습니다. '운동에너지와 위치에너지를 간과하기 힘든 개방계에서 도대체 어떻게 tds eq가 적용이 가능하다는거야?' 라는 생각으로 출발해서 여기까지 왔습니다. 사실, 그게 맞다면 그냥 그렇게 생각하고(적용이 불가능하다고 생각하고) 넘어가면 됩니다. 다만, 제가 공부하고 있는 다수의 책 뿐만 아니라 여러 자료에서 이를 당연하다는 듯이 적용하면서 이론을 설명하고 문제를 풀이하고 있습니다. 따라서 제가 내린 가장 결론은 '위치에너지와 운동에너지를 무시할 수 있는 상황에서는 (T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 식의 적용이 가능하다' 라는 것이었습니다. 다만 이조차도 지키지 않는 사례들이 책들에 있어 큰 혼동이 생겨 이렇게 질문을 드리게 된 것입니다.

학부생의 입장에서 너무 주제넘게 행동한다고 느껴지실거 같아 사과의 말씀도 함께 올립니다. 다만 저의 고민이 그 어디서도 해결되지 못하여 너무 답답한 마음에 이렇게 글 써봅니다. 감사합니다.

아울러 tds eq 가 가지는 의미에 대해서 좀 더 기재해보도록 하겠습니다.
저는 센겔 교과서에서 '밀폐계나 개방계에서 일어나는 모든 변화에 tds eq가 적용될 수 있다'는것이 단순히 열역학 제 1법칙에 대한 설명이 아니라고 생각합니다.
제가 이 식이 중요하다고 생각하는 이유는 모든 변수가 '상태량'으로 표현되어 있기 때문입니다. 첫 번째 식은 경로함수인 일과 열을 포함했음에도 불구하고 말입니다.

상태량이라는 것은 어느 상태 1과 상태 2의 상태량을 비교하였을 때 그 차이가 경로에 상관없이 동일한 것을 의미합니다. 따라서 이 식 자체가 내적 가역과정인 밀폐계를 염두에 두고 도출하였음에도 불구하고 가역인지를 불문, 밀폐계인지를 불문하고 사용될 수 있는 것입니다. 이 개념자체가 굉장히 낯설어, 저도 많이 고민하고 이해하려 노력했습니다. 그 결과 제가 이해한 바로는 개방계에서 어느 두 상태의 상태량이 얻어졌다고 할때, 그것이 실제 과정이 아니라 '가상의 내적 가역인 밀폐계'에서 두 상태량을 얻었다고 생각하면 당연히 이 식을 적용할 수 있겠구나, 그렇다면 개방계에서도 사용이 당연히 가능하겠구나, 가 결론이었습니다.
따라서 제 생각에 의하면 유동에너지 자체도 결국 pv로 계산되는 것이고 이는 상태량의 곱으로 이루어진 값인바 임의의 상태에서 충분히 정의가 가능합니다. 따라서 유동에너지 여부를 불문하고 개방계에서도 위 식의 적용이 가능하다고 생각합니다.
물론 위치에너지와 운동에너지를 고려해야되는 상황인 경우 적용할 수 없는 것으로 보입니다. 처음의 에너지 보존식 자체에서 이를 제외하였기 때문입니다. 저는 이러한 점때문에 질문을 드린 것이기도 합니다.

이 모든것은 어디까지나 저의 생각이고 의견이기 때문에 틀린점이 다수 있을 것이라고 생각합니다. 이에 대한 교수님의 생각이 궁금합니다. 감사합니다.

질문하는 건 전혀 미안할 이유가 아니기 때문에
사과하지 않으셔도 됩니다.

혹시 제가 올려드린 위의 링크들을 다 살펴보셨나요?

학생이 알려고 하는 건 오히려 바람직한 것이지요!

"그런데 교수님은 저에게 'Tds=du+pdv라는 식은 밀폐계가 아닌 개방계에서 사용할 수 없습니다.'라고 설명하셨으니, 교수님의 설명대로라면 아래의 (T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1) 식을 개방계에서 적용할 수 없다고 보는 것이 맞을 것입니다."
- 저는 열역학 1법칙은 적용할 수 있지만, 유동에너지 및 운동/위치에너지가 고려되지 않고 오로지 내부에너지의 변화와 기계적인 일만 고려한 열역학 1법칙의 변형식인 Tds=du+pdv는 적용되지 않는다고 말씀드렸습니다.
- (T2/T1) = (P2/P1)^{(k-1)/k} = (v1/v2)^(k-1), 이 식은 단열(또는 등엔트로피)일 때에 성립할 수 있는 식이라 열역학 1법칙과는 완전히 별개의 식인데 어떻게 Tds=du+pdv가 적용되지 않는다고 해서 단열공식이 적용될 수 없다는 결론이 도출될 수 있는지 궁금합니다.

지금 전반적으로 무언가를 헷갈리고 계신 것 같습니다.
아니라면 제가 질문을 잘 이해하고 있지 못한 것 같습니다.

위의 식은 두 가지를 전제로 유도한 것입니다.
1. 이상기체
2. 단열(등엔트로피)

단열공식이라고도 불리는 위의 식과
계와는 상관이 없는 개념입니다.

제가 무엇이 헷갈리는지 잘 몰라서
아래와 같이 풀이를 해드렸습니다.

열역학 1법칙, 즉 Energy Balance에서 시작했고,
필요한 전제와 그에 따른 식들을 모두 정리해드렸습니다.

한번 살펴보시고, 어떤 것이 문제가 되는지 다시 알려주시면 감사하겠습니다.

추가로 저는 위의 모든 답변을 가역과정을 전제로 말씀드렸습니다.
당연히 아시겠지만, dq=Tds가 성립하려면 entropy generation이 없는 가역과정이어야 할 것입니다.

dq=du+pdv=dh-vdp=Tds (가역일 때)
라고 생각하여 모든 답변을 달아드렸으니
혹시라도 오해가 없으셨기를 바랍니다.

관련된 내용은 아래 강의를 참고해주세요.