안녕하세요. 질문하신 부분이 베르누이 방정식을 유도하는 과정에서 가장 까다로운 부분입니다. 이 정도 내용이 궁금할 정도면 이미 충분히 잘 공부하고 계신 거라고 생각합니다.

먼저 질문 내용을 정리하겠습니다. 질문하신 내용은 유체의 흐름에 관한 베르누이 방정식을 기술한 것으로 dF_s,press가 왜 -Adp로 근사할 수 있는지에 대한 부분입니다.

답변드리기 전에, 베르누이 방정식의 일반적인 원리와 흐름 방향으로의 압력에 대해 간략하게 설명하겠습니다. 베르누이 방정식은 마찰이 없는(inviscid) 유체의 원활한 흐름(streamline)을 따라서 압력, 속도, 높이(또는 위치에너지) 간의 관계를 설명합니다. 물체의 속도가 증가하면 압력이 감소하고 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이것은 보존 법칙(에너지 보존, 질량 보존, 모멘텀 보존)을 근거로 합니다.

질문하신 내용에 대한 답변은 아래와 같습니다. 유체의 흐름을 따라서 작은 제어 부피(elemental control volume)를 상상해보면, 이 Control Volume(CV)에 작용하는 힘은 벽에 수직인 압력과 유체의 무게에 의한 중력 성분입니다. 제 강의노트 아래 이미지에서 CV의 양 끝에서 작용하는 압력의 차이로 dp(압력 차)가 표시되어 있고, CV의 면적을 A라고 할 때, 이 두 압력 차에 의한 순 힘은 dp를 곱한 결과인 Adp입니다.

F_s,press는 흐름 방향에 대한 순압력을 나타내는데, 흐름 방향의 순압력은 흐름 앞쪽의 압력 p+dp와 뒤쪽의 압력 p 간의 차이법으로 생각할 수 있습니다. 순압력을 구하기 위해 제어 부피의 앞쪽과 뒤쪽 면의 면적에 각각의 압력을 곱한 다음, 뒤쪽 면에서부터 앞쪽 면에 대한 압력의 차이(dp)를 고려하면, 순압력은 -Adp로 근사할 수 있습니다. 이 식에서 음수 부호(-)는 흐름 방향과 반대 방향을 가리키는 순압력을 나타냅니다. 근사 이유는 부적분 뒷부분에 나와 있듯이 면적의 변화(dA)에 의한 압력 변화는 무시할 수 있을 만큼 작기 때문입니다. 따라서, 흐름 방향으로 순압력은 간단하게 -Adp로 표현할 수 있는 것입니다.

쉽게 다시 말하면, 강의노트에서 위의 그림에서 순압력차만 나타내면 아래의 그림이 되는데, 기울어진 평면에서 압력은 0에서 dp만큼 선형적으로 증가한다고 가정한 것이고 이 압력은 0부터 dA까지 늘어난 면적에 따라 작용하는 것이기 때문에 1/2 * dp * dA가 되는 겁니다. 물론 오른쪽 평면에서는 왼쪽평면의 압력(p)에 의한 힘을 상쇄하여 (A+dA) * dp로 나타낸 것이고요.

질문하신 부분 중에 (pressure in s-direction)만을 고려해 줘야 한다는 부분에 대한 질문도 답변드려야 할 것 같은데요. 그림이 기울어진 면에 수직으로 작용하는 것처럼 그려져서 그렇지, 사실은 모두 s방향(흐름방향)으로 작용하는 순압력을 나타냅니다. dA만큼 늘어날 때 발생하는 순압력(dp)을 그림 상으로 표현할 때 부득이하게 조금 헷갈릴 수밖에 없었던 것 같습니다.

처음에 말씀드린 바와 같이 질문하신 내용이 가장 이해하기 어려운 내용입니다. 아마 제 답변으로 베르누이 방정식을 잘 이해하실 수 있을 거라 기대합니다. 열심히 공부해 주셔서 감사합니다. 그리고 제 강의를 좋아해 주셔서 진심으로 고맙습니다.