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[계산 질문] 평행축 정리
Ch. 1 Introduction To Vibration and the Free Response
작성자
kwonjunpyo
작성일
2020-09-08 01:30
조회
1499
안녕하세요 교수님.
진동학 15강, 중간고사 대비 문제 풀이에서 궁금한 점이 있어 질문 드립니다.
첨부해 드린 사진 관련 질문인데요,
원판의 중심을 축으로 회전할 때의 회전 관성 모멘트는 (1/2)mr^2으로 교수님꼐서 적어주신 J값인 것으로 알고 있습니다.
또한, 이 문제에서 교수님께 평행축 정리를 쓰지 않은 것 또한, 교수님이 translation motion으로 나타나는 운동 에너지를 (1/2)mv^2으로
고려해주셨기 때문이라는 것으로 알고 있습니다.
(이는, 동역학에서, 여러 문제를 풀었을 때, J' = J + mr^2, T = (1/2)J'*(omega)^2 으로 나타낼 수 있었던것으로 기억합니다.)
교수님 그런데, 이 문제에서, 교수님꼐서 수식으로 쓰신 (1/2)mx^2으로 Translation motion energy로 잡으시면, (J' = (1/2)*(mr^2)+ma^2)
평행축 정리로 계산하였을 때, (1/2)*(ma^2)*(theta_dot)^2 과 차이가 있을 것으로 생각이 들었습니다.
교수님께서 이 문제 풀이를 진행하실 때에도, (a_r)*theta 와 r*theta가, 수식으로 정리된 결론은 다르지만, 많은 차이가 안날 것이라 고려된다 라고 말씀해주셨는데, 이 또한 같은 답변이 될지 여쭈어보고 싶었습니다.
교수님께 답변을 받을 때 까지 시간이 조금 걸릴 것이라 생각되어, 질문 올린 뒤 저 또한 평행축 정리로 유도해보고 있겠습니다.
또한, Equation of Motion 수식 나타내실 때, Theta_dot이 모두다 공통으로 나타나는데 '상관없다' 하시며 없애셨었는데요
이게 혹시 공통된 변수를 나누듯이, 없애는 것인지 여쭈어보고 싶습니다.
감사합니다.
평행축 정리 이용하여 나타낸 값입니다!
진동학 15강, 중간고사 대비 문제 풀이에서 궁금한 점이 있어 질문 드립니다.
첨부해 드린 사진 관련 질문인데요,
원판의 중심을 축으로 회전할 때의 회전 관성 모멘트는 (1/2)mr^2으로 교수님꼐서 적어주신 J값인 것으로 알고 있습니다.
또한, 이 문제에서 교수님께 평행축 정리를 쓰지 않은 것 또한, 교수님이 translation motion으로 나타나는 운동 에너지를 (1/2)mv^2으로
고려해주셨기 때문이라는 것으로 알고 있습니다.
(이는, 동역학에서, 여러 문제를 풀었을 때, J' = J + mr^2, T = (1/2)J'*(omega)^2 으로 나타낼 수 있었던것으로 기억합니다.)
교수님 그런데, 이 문제에서, 교수님꼐서 수식으로 쓰신 (1/2)mx^2으로 Translation motion energy로 잡으시면, (J' = (1/2)*(mr^2)+ma^2)
평행축 정리로 계산하였을 때, (1/2)*(ma^2)*(theta_dot)^2 과 차이가 있을 것으로 생각이 들었습니다.
교수님께서 이 문제 풀이를 진행하실 때에도, (a_r)*theta 와 r*theta가, 수식으로 정리된 결론은 다르지만, 많은 차이가 안날 것이라 고려된다 라고 말씀해주셨는데, 이 또한 같은 답변이 될지 여쭈어보고 싶었습니다.
교수님께 답변을 받을 때 까지 시간이 조금 걸릴 것이라 생각되어, 질문 올린 뒤 저 또한 평행축 정리로 유도해보고 있겠습니다.
또한, Equation of Motion 수식 나타내실 때, Theta_dot이 모두다 공통으로 나타나는데 '상관없다' 하시며 없애셨었는데요
이게 혹시 공통된 변수를 나누듯이, 없애는 것인지 여쭈어보고 싶습니다.
감사합니다.
평행축 정리 이용하여 나타낸 값입니다!
Engineering Vibration, Daniel J. Inman, Pearson
Ch. 1 Introduction To Vibration and the Free Response
Ch. 2 Response To Harmonic Excitation
Ch. 3 General Forced Response
Ch. 4 Multiple-Degree-of-Freedom Systems
Ch. 5 Design for Vibration Suppression
Ch. 6 Distributed-Parameter Systems
Ch. 7 Vibration Testing and Experimental Modal Analysis
Ch. 8 Finite Element Method
안녕하세요.
질문 주셔서 감사합니다.
질문의 의도는 잘 알겠습니다.
말씀하신 것처럼
제 풀이에 많은 가정이 있는 것을 잘 압니다.
하지만,
제가 가정한 것들은
이 시스템을 해석하는 데에 큰 문제가 되지 않기 때문에
여전히 유효하다고 말씀드립니다.
저도 좀 더 깊게 이해하고자 한다면...
왜
potential energy에서의 변위와
kinetic energy에서의 translation velocity에서의 변위차가
다르게 유도되는지는 쉽게 납득하지 않습니다.
하지만 문제에서 의도하는 것을 잘 생각해본다면
kinetic energy는
disk의 kinetic energy를 중심적으로 생각한다는 것입니다.
때문에 학생분께서 하신 것처럼
회전관성모멘트를
r을 기준으로 하지 않고,
a로 잡는다면
그 값이 지나치게 작게 나올 염려가 있습니다.
때문에 학생분께서 내신 풀이보다는 제 가정이 조금 가까울 것 같습니다.
그리고
혹시 좀더 파고 싶으시면,
a/r의 ratio에 관해 wn을 plot해보세요.
학생분의 풀이와 제 풀이를 동시에 plot하여 비교해본다면,
얼마나 차이가 있을지 재미있을 것 같습니다.
문제의 가정이 조금 납득하기 어렵다는 점은
저도 어느 정도 이해하나
제가 이 문제를 통해서 학생분들께 원하는 지향점은
Energy Method의 올바를 사용과
translation + rotation을 이용하여 kinetic energy을 계산하고
potential energy를 kinetic 항과 잘 구별하여
올바르게 에너지 보존 방정식에 의한 솔루션을 내는 과정입니다.
이 방법에 대해서 많은 연습을 해보신다면,
그것으로도 충분하다는 생각이 듭니다.
좋은 질문 주셔서 감사합니다.
저도 많이 생각해봤지만,
제 가정이 큰 문제가 되지 않을 것 같고,
학생분의 관성 모멘트값이 지나치게 작을 것 같다는 이유 때문에
쉽게 솔루션을 바꾸기가 어려울 것 같습니다.
나중에 한 번 plot하여 보여주시면 정말 재밌을 것 같습니다.
열심히 공부해주셔서 보기 좋습니다.
정말 감사합니다!
clear
close all
clc
%wn_prof:강의에서 나온 Natural Frequency
%wn_me : 평행축 정리를 이용한 Natural Frequency
%%Information
k = 1;
m = 1;
r = 1;
a = 0:0.001:1;
X = a/r;
%%Calculation
wn_prof = ((a+r)/r)*sqrt(4*k/(3*m))
wn_me = sqrt((4*k*(a+r).^2)./((m*r^2)+2*m*a.^2))
plot(X, wn_prof)
hold on
plot(X, wn_me)
%%Post-Processing
legend_entries = {'wn prof', 'wn parallel axis theorem'};
legend(legend_entries, ', 'northeast')
grid on
xlabel('a/r')
ylabel('wn')
title('Comparison between lecture and parallel axis theorem')
교수님 말씀해주신대로 a/r 비율로 plot 해보았습니다!
(다시 보니 변수 선언이랑, 그래프 plot label이 조금 이름이 다른데, calculation에서 wn_me가 평행축 정리를 이용한wn_parallel axis theorem 입니다!)
a/r 비율을 어떻게 수식에 넣을지 고민해보다 r을 고정해두고 a를 0~r까지 변화시키는 것으로 가정하기로 했고,
m, k 모두 다 모르는 상수값이기에 1로 두고 계산을 하였습니다.
이 차이에 대해서 오차가 상당하다고 이야기 할 수 있을지... 잘 체감이 되지는 않습니다...!
+) 제가 평행축 정리라고 부른 이유는 다음과 같습니다.
물체가 회전을 할 때, 무게 중심을 축으로 회전하는 경우의 값이 지금 문제 상황에서도 나와있는 J=(1/2)mr^2입니다. 그리고 회전하는 축이 이 중심축이 아닌 경우, translation energy를 추가적으로 고려하거나(1/2mv^2), 아니면 평행축 정리를 이용하여 J값을 보정(J')해주어 (1/2)J'*w^2 으로 계산해주는 것으로 알고 있습니다!
++)아마 여기서 교수님과 저의 계산의 차이가 나타나는 것 같습니다!
만약에 J에 (1/2mr^2+ma^2)으로 들어간다면, 교수님께서 따로 고려해주신 Translation, (1/2)*m*(r*theta_dot)^2이 저는 (1/2)*m*(a*theta_dot)^2이 됩니다.
위의 코드로 plot한 사진 첨부합니다!