그렇다면 두번째 올려주신 질문의 경우 왜 중력에 의한 x0를 고려하는 것일까요? 이는 첫번째 케이스와는 조금 다릅니다.

첫 번째 케이스의 경우 정적 평형을 만족한 상태에서 위/아래로 진동하는 의미의 x0가 아니라, 진동을 야기하는 초기 변위값을 나타냅니다. 그러니까 Initial Condition으로써 x0가 사용된 것이죠. 때문에 첫번째 케이스와는 다른 것입니다.

정리하자면, 첫번째 케이스는 정적 평형과 관련한 변위, 두번째 케이스는 initial conditions에 관련한 변위가 되겠습니다. 둘의 차이가 잘 이해되기를 바랍니다.

진동학에서 매우 중요한 개념입니다. (저도 학부 시절에 많이 고민했었던 내용이죠.)
27번의 경우 로프의 진동은 일단 로프가 힘의 평형을 만족한 상황에서 위/아래로 진동합니다. 때문에 사람의 무게에 의한 중력이 로프를 잡아 당기고 평형상태를 이루고 나서 위/아래로 진동하기 때문에 중력이 고유진동수에 미치는 영향은 없게 되는 것이죠.

제가 진동학 한방에 끝내기에서 풀어드렸던 문제 중 하나를 예시로 보여드리겠습니다. 보시다시피 경사면에서 중력에 의한 스프링 값은 힘의 평형으로 인해 상쇄되고 이는 진동에 영향을 미치지 않게 됩니다.