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F=kx 관련 system 의 정역학적/ 운동학적 moment equilibrium 식 세우기
Ch. 1 Introduction To Vibration and the Free Response
작성자
akseldrnfl
작성일
2020-10-21 15:42
조회
1883
질문드립니다.. 어쩌다보니 2시간을넘게 고민했는데 이해가 안됩니다.ㅠㅠㅠ
풀이부분이 아닌 개념적인 부분입니다만 제가 역학적 개념에서 빵꾸가 느껴집니다.
20번은 막대의 질량이 잇고, 31번은 질량이 없습니다.
둘다 o 점은 힌지이므로 반력moment 는 있을 수 없습니다
그런데 제가 계속 갸우뚱 했던 부분은 아래와 같습니다.
21번은 전체 0 점에서의 moment 값이 0 이 아닌 T 로 두었고,
31번은 같은 0 점에서의 moment 값을 0 으로. moment equilibrium 을 식으로 써서 구했다는 것입니다.
20번을 풀고나서 이해한 바는 이렇습니다. 누가 툭 막대기를 치고 갔고, 그 바로 직후에 막대를 보건대
전체가 정지또는 등속이 아닌 어떤 힘에 의해 돌아가고 있으므로 전체 막대기(시스템) 이 돌림힘(T)을 받고 있다고 본거구나. ( 이는 theta 가 시계방향을 가리키므로 같은 시계방향 moment 를 만드는 중력 mg 가 주된 요소로 작용해 만들어진 '전체 system 의 돌림힘' 으로 보입니다.)
그래서 20번 솔루션 의 (1) 식은 T 가 무엇으로 이루어진 돌림힘인지 를 나타내준 식이라고 이해했습니다. 그 와중에도 그 식의 의미가 결국 (o에서의 moment 합은 0 이 되어야 하는데) , 그것을 0이 아닌 T 로 둔 것이 되어버려서 모순점을 앉고 있었습니다.
어쩌면 원래 T 는 아주 미소한 값이라 =0 에 근사한 값이지만, 이 문제에서 요구한것이 T/theta 인 K_t 였으므로 굳이 표현을 해준 식이라면, 이 모순은 해결것 같습니다.!
만약 그런것이 아니라면 31번 문제를 보며 혼동이 오게됩니다
31번은 20번과 거의 같으며 ,막대기 질량이 없어, 중력 대신 F 라는 외력이 물체의 변위를 일으킨다는 사실만 다릅니다. 하지만 이 문제에서는 o 에서의 moment = 0 으로 그냥 moment equilibrium 을 적용했습니다. F 에 의해서도 분명 순간적인 전체 system 의 돌림힘이 생길것이라 20번과 다름없어 보이는데 여기선 =T 가 아닌 =0 으로 식을 써놨습니다..ㅠㅠ
혹시 질량의 유무에 따라서 식이 달라진 것인지도 의문점이 들었습니다.
그래서 정역학적 힘의 평형 관점이 아닌 뉴턴의 운동방정식을 써보기도 해봤습니다.
ma=F-kx 에서 m->0 이라면 F(외력 합)=kx 라고 쓸 수 있다고 알고있어서,
J*alpha = T - k_t*theta 에서 J=0(m=0) 이면 T(알짜moment) = k_t*theta 인것인가.!
생각 해봤지만 이는 오히려 31번이 아닌 20번 솔루션의 (1) 식 과 같아서 다시한번 한숨을..
지금까지 제 생각흐름을 최대한 정리해보았는데, 생각자체가 꼬리물기다보니 난잡한 질문이 되어버린것도 같습니다.
작성하면서 든 생각까지 포함하여 최종 질문으로 정리해보겠습니다.
20번 은 T 에 m 이 있으므로 운동방정식으로 접근하되, J 를 무시하여(?)
T (알짜moment) =K_t * theta 꼴 로 식을 만든 것이고,
31번은 m 이 없으므로, 이처럼 m 이 없는 문제의 경우 그냥 정역학적으로 moment-equilibrium 을 쓰면된다. ..라고 이해하면 될까요? .ㅎㅎ 껴맞춘 느낌이라 확신은 없습니다.
아니면 중간의 이부분 >>
어쩌면 원래 T 는 아주 미소한 값이라 =0 에 근사한 값이지만, 이 문제에서 요구한것이 T/theta 인 K_t 였으므로 굳이 표현을 해준 식이라면, 이 모순은 해결것 같습니다.!
처럼 T는 원래 있지만 0 에 가깝기에 표현 할 수 도 있고 그냥 0 이라 둘 수도 있는데, 문제에 따라 필요할 경우 표현을 해주는 것이다.! 라고 생각하는게 맞을까요? 또는 둘다 아닌가요ㅠㅠ
긴글 읽어주셔서 정말 감사합니다.
Engineering Vibration, Daniel J. Inman, Pearson
Ch. 1 Introduction To Vibration and the Free Response
Ch. 2 Response To Harmonic Excitation
Ch. 3 General Forced Response
Ch. 4 Multiple-Degree-of-Freedom Systems
Ch. 5 Design for Vibration Suppression
Ch. 6 Distributed-Parameter Systems
Ch. 7 Vibration Testing and Experimental Modal Analysis
Ch. 8 Finite Element Method
[첫 번째 질문에 대한 답변]
- 첫 번째 문제에서의 모멘트는
두 번째 문제에서 F의 정체와 동일한 것입니다.
- 제 생각에 중력에 대한 고려 여부는
단순히 문제에서의 조건 차이이기 때문에
실제 물리적인 상황과
지나치게 관여시킬 필요는 없을 것 같습니다.
[두 번째 질문에 대한 답변]
- 첫 번째 질문에 대한 답변으로 설명됐을 거라 생각합니다.
- 두 번째 문제에서 힘을 줌으로써
평형을 이루는 것과 마찬가지로
- 첫 번째 문제에서의 모멘트로
평형을 이룬다고 보시면 쉬울 것입니다.
[세 번째 질문에 대한 답변]
- 이 문제는 매우 작은 각도를 가정하고 있습니다.
때문에 말씀하신 것처럼
왔다갔다 하는 등의 모션으로 연관시키기 보다는
정말 작은 변위의 각도를 가지면서
평형을 이룬다고 보는 것이 맞습니다.
- 이 문제의 경우,
가진 진동이 아니기 때문에
(등가 탄성을 계산해야 하는 매우 단순한 상황)
속도/가속도는 고민할 문제는 아니라고 생각합니다.
- 모멘트를 0으로 두는 이유는
알짜 모멘트가 0여야
각가속도 (alpha)가 0가 될 것이고
이러한 평형상태가 현재 문제의 상태이기 때문입니다.
(동역학 한방에 끝내기를 꼭 들어보시길 바랍니다!)
- 힌지에 의한 반모멘트를 말씀하셔서 첨언드리자면,
첫 번째 문제의 restoring moment는
물체 자체가 가지고 있는 탄성 정도로 보시는 것이 바람직할 것 같습니다.
ㅠㅠㅠ 오래 고민했는데 이제 클리어해진것 같습니다. 정말 감사드립니다. 시간내서 동역학도 들어보겠습니다 감사합니다!!!
안녕하세요.
솔루션이 때로는 자세하지 않아서
학생들이 이런 식으로 공부하는 데에
어려움이 많은 것 잘 이해합니다.
그래도 이러한 고민들이
결국 학생분의 역학 실력 향상에
큰 도움이 된다는 것을 아셔야 합니다.
항상 이렇게 고찰해보고
다양하게 시나리오를 생각해보고
문제에 적용하는 연습을
하시길 바랍니다.
아마 제가 푼 방식대로 이해하시면
모든 궁금증이 이해가실 겁니다.
결론적으로
두 문제는 전혀 다른 문제가 아니고,
첫 번째 문제에서의 솔루션이
restoring moment에 대한 언급이 없다 보니까
상이한 두 풀이에 대해서 혼란이 온 것입니다.
모든 역학 문제는
다 FBD를 바탕으로 한
equilibrium으로 풀어야 합니다.
첫 번째 문제에서
restoring moment를 언급했기 때문에
이를 FBD에 반영해줘서
equilibrium을 만족시켜주면
governing equation을 세울 수 있게 되고,
이는 두 번째 풀이와
동일하다는 것을 아실 수 있을 겁니다.
두 번째 풀이는
솔루션과 크게 다르지 않습니다.
이 솔루션에서는 첫 번째의 솔루션과는 달리
FBD에 F값을 반영해줬기 때문에
equilibrium에 대한 이해가 쉬우셨을 거라 생각합니다.
위에 첨부된 제 풀이들이
학생분의 이해에 도움이 될 수 있다면 좋겠습니다.
열심히 공부하세요!
교수님 답변 정말 감사드립니다.. ! 보고 많이 고민 해보았는데, 추가 질문을 좀 드려야 할것 같습니다!
1. 첫 문제의 복구 모멘트 M 이라 언급된 애는 정체가 뭔가요? 아예 새로 주어진 외력인가요?? o에서의 모멘트를 표현하는 '항' 으로 된다는것은 spring 이나 mg 중력에 의한 것이 아닌 새로운 힘이어야 하는것 같아서요.!
2. 앞의 가정이 맞다면 두번째 문제에서는 복구모멘트 얘기가 없기 때문에 M0 를 표현해준 항에 없는것 뿐인가요??
3. 전체 system 이 등속 or 정지 상태가 아니라고 해도 hinge 에서 바라본 알짜모멘트는 무조건! =0 이 되야 하는건가요??
생각해보면 막대가 한쪽으로 최대한으로 갔다가 돌아오는 모션이 일어날 텐데, 직립상태 or 어느 한쪽 끝 이 아닌 이상 , 전체적으로 알짜모멘트=0 이 될 수가 없이, 넘어지는 중에는 중력 등의 힘에 의한 모멘트가 / 되돌아 올라오는 중에는 스프링의 반력에 의한 모멘트가 더 크게 작용을 하는 것 같아서요 ! 물론 당연히 속도가 일정하지도 않구요! 당연히 막대가 바닥에 꽂혀있었다면 꽂힌 부분에 반력모멘트가 있을 텐데, 문제는 hinge 이고 , hinge 성질 상 반력모멘트가 있을 수 가 없으니까.. 거기서 생각이 나아가질 않네요
이해가 잘 되었다니 다행입니다.
열심히 공부하세요!